JEMC 2019

Dag 1

Vraag 1

Ieder strikt positief natuurlijk getal is geassocieerd/ gemarkeerd met een getal uit de verzameling $\{0,1,2\}$, volgens de volgende regel: $$\text{als een (natuurlijk) getal } k \text{ gemarkeerd is met } j \text{, dan is het getal } k+j \text{ gemarkeerd met } 0. $$ Zij $S$ de som van alle geassocieerde waarden van de eerste $2019$ natuurlijke getallen (verschillend van nul). Bepaal dan het maximum dat $S$ kan aannemen.

Vraag 2

Definieer een rij $x_1, x_2, x_3, \ldots$ zodat $x_1=\sqrt{2}$ en $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \text{ voor elke } n\in \mathbb{N} \text{ (met n }\ge 1).$$
Bewijs dat de volgende ongelijkheid geldt: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+ \frac{x_2
^2}{2x_2x_3-1}+ \ldots+\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met omgeschreven cirkel $\omega$. Zij $l_B$ en $l_C$ twee rechten door de punten $B$ en $C$, respectivelijk, zodat $l_B \parallel l_C$. De twee snijpunten van $l_B$ en $l_C$ met $\omega$ zijn $D$ en $E$, respectivelijk.Veronderstel dat $D$ en $E$ aan de zelfde kant van $BC$ als $A$ liggen. Het snijpunt van $DA$ en $l_C$ is $F$ en het snijpunt $EA$ en $l_B$ is $G$. Als $O$, $O_1$ en $O_2$ de middelpunten (omcentra) zijn van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $ABC$, $ADG$ en $AEF$, respectivelijk, en $P$ het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van driehoek $OO_1O_2$ is, bewijs dan dat $l_B \parallel OP \parallel l_C$.

Vraag 4

Zij $u$ een (strikt) positief rationaal getal en $m$ een natuurlijk getal ($\ge 1$). Definieer een rij $q_1, q_2, q_3, \ldots$ zodat $q_1 = u$ en voor elke $n \geq2$:
$$\text{als } q_{n-1}=\frac{a}{b} \text{ voor bepaalde getallen } a \text{ en } b \text{ die relatief priem zijn, dan } q_n=\frac{a+mb}{b+1}. $$
Bepaal alle (strikt positieve, natuurlijke) getallen $m$ zodat de rij $q_1, q_2, q_3, \ldots$ vanaf een bepaald moment periodiek is voor elk (strikt) positief rationaal getal $u$.

Opmerking: Een rij $x_1, x_2, x_3, \ldots$ is vanaf een bepaald moment periodiek als er getallen $c$ en $t$ bestaan zodat $x_n = x_{n+t}$ voor alle $n \ge c$.