ongelijkheid op een rij

Definieer een rij $x_1, x_2, x_3, \ldots$ zodat $x_1=\sqrt{2}$ en $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \text{ voor elke } n\in \mathbb{N} \text{ (met n }\ge 1).$$
Bewijs dat de volgende ongelijkheid geldt: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+ \frac{x_2
^2}{2x_2x_3-1}+ \ldots+\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$