JEMC 2017

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle paren $(x, y)$ met $x,y$ beide geheel, die voldoen aan de vergelijking $$x^2y + y^2 = x^3.$$

Vraag 2

Een regelmatige zeshoek in het vlak is zoet genoemd als zijn oppervlakte gelijk is aan $1.$
Is het mogelijk om 2000000 zoete zeshoeken te plaatsen in het vlak zodat de unie van hun inwendige een convexe veelhoek is met oppervlakte minstens 1900000?

Opmerking: Een deelverzameling $S$ van het vlak is convex genoemd als voor elk paar punten in $S$ geldt dat elk punt op het lijnstuk dat deze twee punten verbindt, ook tot $S$ behoort.
De zeshoeken mogen overlappen.

Vraag 3

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek. Zij $H$ en $M$ het hoogtepunt van $ABC$ en het midden van de zijde $[BC]$, respectivelijk. Zij $Y$ een punt op $AC$ zodat $YH$ loodrecht staat op $MH$ en zij $Q$ een punt op $BH$ zodat $QA$ loodrecht is op $AM$. Zij $J$ het tweede snijpunt van $MQ$ en de cirkel met diameter $MY$. Bewijs dat $HJ$ loodrecht staat op $MA.$

Vraag 4

De reële getallen $x, y, z$ voldoen aan $x^2 + y^2 + z^2 = 3$. Bewijs de ongelijkheid $$x^3 - (y^2 + yz + z^2)x + y^2z + yz^2 \le 3\sqrt 3$$ en vind alle drietallen $(x, y, z)$ waarvoor gelijkheid geldt.