titels mogen geen hint bevatten

We bekijken de gevallen $x=0$ en $x \neq 0$.

Wanneer $x=0$, vinden we dat $y=0$ en dit geeft de oplossing $(0,0)$.

Nu zullen we het geval $x \neq 0$ bespreken.
Aangezien het rechterlid van de opgave deelbaar is door $x^2$, is ook het linkerlid van de opgave deelbaar door $x^2$ ofwel $x^2 \mid x^2y+y^2$. Hieruit volgt dat $x^2 \mid y^2$ en $x \mid y$. We kunnen $y$ dus herschrijven zodat $y=Ax$ met $A \in \mathbb{Z}$ (noem dit $(1)$). Wanneer we $(1)$ invullen in de opgave, krijgen we $x^3A+A^2x^2=x^3$ en aangezien $x \neq 0$, is $Ax+A^2=x$ (noem dit $(2)$).

Merk op dat $A \not=1$ omdat dan $x+1=x$ zou gelden, wat duidelijk niet kan.

We krijgen $x-Ax=A^2$ en omdat $A-1\neq 0$ krijgen we dat $x=\frac{A^2}{1-A}$ (noem dit $(3)$). Aangezien $x$ een geheel getal is met $x\neq0$, moet $1-A$ een deler zijn van $A^2$. Dus $1-A \mid A^2$. Nu is $1-A \mid A^2 - A \cdot (1-A) = -A$. Het is duidelijk dat $1-A$ en $-A$ geen priemdeler gemeenschappelijk hebben en dus hebben we maar twee mogelijkheden: $1-A=1$ en $1-A=-1$.

In het eerste geval hebben we $1-A=1$ met $A=0$, maar dit kan niet, want wanneer we $A=0$ invullen in $(3)$ krijgen we $x=0$ en we hebben aangenomen dat $x \neq 0$.

Nu bekijken we het geval $1-A=-1$ met $A=2$. Wanneer we dit invullen in $(3)$, krijgen we $x=\frac{2^2}{1-2}=-4$ en wanneer we dit invullen in $(1)$ krijgen we $y=2\cdot(-4)=-8$. Dit geeft ons de oplossing $(-4,-8)$.

De verzameling van alle koppels waarvoor de opgave klopt is dus $\{(0,0),(-4,-8)\}$.