EMC 2022

Dag 1

Vraag 1

Zij $n \geq 3$ een positief geheel getal. Alice en Bob spelen een spel waarbij ze om beurt een hoekpunt van een regelmatige $n$-hoek kleuren. Alice begint. Bij de start is geen enkel hoekpunt gekleurd. Beide spelers starten het spel met $0$ punten.

Om beurt, kleurt een speler een hoekpunt $V$ die nog niet reeds gekleurd is en krijgt $k$ punten, waarbij $k$ het aantal buren van $V$ is die reeds gekleurd zijn. (Dus, $k$ is $0$, $1$ of $2$.)

Het spel eindigt wanneer alle hoekpunten gekleurd zijn en de speler met het meeste punten wint. Als de spelers hetzelfde aantal punten hebben, wint niemand.
Bepaal alle $n \ge 3$ waarvoor Alice een winnende strategie heeft, en alle $n \geq 3$ waarvoor Bob een winnende strategie heeft.

Vraag 2

We noemen een natuurlijk getal $n>0$ \emph{lief} als er een natuurlijk getal $k>0$ en (niet noodzakelijk verschillende) strikt positieve gehele getallen $d_1, d_2, \ldots, d_k$ bestaan zodat $n=d_1d_2\ldots d_k$ en $$d_i^2 \mid n+d_i$$ voor alle $i \in \{1, \ldots, k\}$.

Bestaan er oneindig veel lieve getallen?
Bestaat er een lief getal groter dan $1$ dat een (volkomen) kwadraat van een geheel getal is?

Vraag 3

Zij $\mathbb R$ de verzameling van reele getallen. Vind alle functies $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ waarvoor geldt dat $$f(x^3)+f(y)^3+f(z)^3=3xyz$$
voor alle $x,y,z \in \mathbb R$ die voldoen aan $x+y+z=0$.

Vraag 4

Vijf punten $A, B, C, D$ en $E$ liggen op een cirkel $\tau$ in wijzerzin in die volgorde waarbij $AB$ parallel is met $CE$ en $\angle ABC>90^\circ$. Zij $k$ een cirkel rakend aan $AD, CE$ en $\tau$ zodat de cirkels $k$ en $\tau$ raken op de boog $ED$ die $A,B$ en $C$ niet bevat. Zij $F \neq A$ het snijpunt van $\tau$ en de rechte rakend aan $k$ die door $A$ gaat verschillend van $AD$.

Bewijs dat er een cirkel is die raakt aan $BD, BF, CE$ en $\tau$.