Lieve getallen

We noemen een natuurlijk getal $n>0$ \emph{lief} als er een natuurlijk getal $k>0$ en (niet noodzakelijk verschillende) strikt positieve gehele getallen $d_1, d_2, \ldots, d_k$ bestaan zodat $n=d_1d_2\ldots d_k$ en $$d_i^2 \mid n+d_i$$ voor alle $i \in \{1, \ldots, k\}$.

Bestaan er oneindig veel lieve getallen?
Bestaat er een lief getal groter dan $1$ dat een (volkomen) kwadraat van een geheel getal is?