EMC 2018

Dag 1

Vraag 1

Een partitie van een natuurlijk getal is even als elk element in de partitie even is. Analoog noemen we een partitie oneven als alle elementen oneven zijn. Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ zodat het aantal even partities van $n$ gelijk is aan het aantal oneven partities van $n$.

Opmerking: Een partitie van een natuurlijk getal $n$ is een niet-dalende rij van natuurlijke getallen die sommeren tot $n$. Bijvoorbeeld, $(2,3,4)$, $(1, 2, 2, 2 ,2)$ en $(9)$ zijn partities van $9$.
Een natuurlijk getal is hier steeds verschillend van $0.$

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek met $|AB| < |AC|$. Zij $k$ de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ en zij $O$ het middelpunt van $k$. Punt $M$ is het midden van de boog $\widehat{BC}$ van $k$ die $A$ niet bevat. Zij $D$ het tweede snijpunt van de loodlijn van $M$ op $AB$ met $k$ en $E$ het tweede snijpunt van $k$ en de rechte door $M$ loodrecht op $AC$. Punten $X$ en $Y$ znijn de snijpunten van $CD$ en $BE$ met $OM$ respectivelijk. Met $k_b$ en $k_c$ duiden we de omgeschreven cirkels van de driehoeken $BDX$ en $CEY$ respectivelijk aan. Zij $G$ en $H$ het tweede snijpunt van $k_b$ en $k_c$ met $AB$ en $AC$ respectivelijk. Met $k_a$ duiden we de omgeschreven cirkel van $AGH$ aan.

Bewijs dat $O$ het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van $\triangle O_aO_bO_c$, waarbij $O_a$, $O_b$, $O_c$ de middelpunten van respectievelijk $k_a$, $k_b$ en $k_c$ zijn.

Vraag 3

Voor welke reële getallen $k > 1$ bestaat er een begrende verzameling van positieve reële getallen $S$ met minstens $3$ elementen zodat
\[k(a - b) \in S\] voor alle $a, b \in S$ met $a > b$?

Opmerking: Een verzameling van positieve re\"ele getallen $S$ is begrensd als er een reëel getal $M$ bestaat zodat $x < M$ voor alle $x \in S$.

Vraag 4

Zij $x,y,m,n$ natuurlijke getallen groter dan $1$ zodat
\[\underbrace{x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}}}_{m \text{ times}} = \underbrace{y^{y^{y^{\cdot^{\cdot^y}}}}}_{n \text{ times}}.\]
Volgt hieruit dat $m = n$?