Het omcentrum van een omcentrumdriehoek

Zij $ABC$ een driehoek met $|AB| < |AC|$. Zij $k$ de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ en zij $O$ het middelpunt van $k$. Punt $M$ is het midden van de boog $\widehat{BC}$ van $k$ die $A$ niet bevat. Zij $D$ het tweede snijpunt van de loodlijn van $M$ op $AB$ met $k$ en $E$ het tweede snijpunt van $k$ en de rechte door $M$ loodrecht op $AC$. Punten $X$ en $Y$ znijn de snijpunten van $CD$ en $BE$ met $OM$ respectivelijk. Met $k_b$ en $k_c$ duiden we de omgeschreven cirkels van de driehoeken $BDX$ en $CEY$ respectivelijk aan. Zij $G$ en $H$ het tweede snijpunt van $k_b$ en $k_c$ met $AB$ en $AC$ respectivelijk. Met $k_a$ duiden we de omgeschreven cirkel van $AGH$ aan.

Bewijs dat $O$ het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van $\triangle O_aO_bO_c$, waarbij $O_a$, $O_b$, $O_c$ de middelpunten van respectievelijk $k_a$, $k_b$ en $k_c$ zijn.