JBaMO 2009

Dag 1

Vraag 1

$ ABCDE$ is een convexe vijfhoek met $ |AB|+|CD|=|BC|+|DE|$ en $ k$ is een cirkel met middelpunt op de zijde $ AE$ die $ AB$, $ BC$, $ CD$ en $ DE$ raakt in de punten $ P$, $ Q$, $ R$ en $ S$ resp.
Bewijs dat $ PS//AE.$

Vraag 2 Opgelost!

Los de gelijkheid $ 2^{a}3^{b}+9 = c^{2} $ op in de natuurlijke getallen.

Vraag 3 Opgelost!

$x,y,z \in \mathbb R$ zodat $ xyz = (1-x)(1-y)(1-z) $ met $0\le x,y,z \le 1.$
Bewijs dat er tussen de waarde $ (1-x)y,(1-y)z,(1-z)x $ zeker een waarde zit die minimum $0.25$ is en $1$ waarde die maximum $0,25$ is.

Vraag 4

We hebben $2009$ verschillende punten in het vlak die enkel in blauw of rood worden gekleurd.
Er geldt dat voor ieder blauw punt $B$, er exact $2$ rode punten op afstand $1$ liggen van dat punt $B$.
Wat is het maximaal aantal blauwe punten $n$ dat we kunnen hebben?
( en dus $2009-n$ rode punten)