zo'n saaie diophant

Ontbinden geeft $2^a3^b=(c-3)(c+3)$
Stel eerst $a=0$: dan moet het verschil van twee machten van drie $ 6$ zijn. De enige oplossing hiervoor is $9-3=6$. Dit geeft ons een eerste oplossing: $(0,3,6)$.

Stel dan $b=0$: dan moet het verschil van twee machten van twee $6$ zijn. De enige oplossing hiervoor is $8-2=6$. Dit geeft ons een tweede oplossing: $(4,0,5)$.

Vanaf nu nemen we $a,b$ niet gelijk aan nul.
Dan moet $c\equiv 0\pmod3$ zodat we $c=3x$ kunnen stellen.
$2^a3^b=9(x-1)(x+1)$ zodat $b\geq 2$ en we een factor $9$ kunnen afzonderen.

$2^a3^{b-2}=(x-1)(x+1)$
Stel hierin $b=2$: dan moet het verschil van twee tweedemachten $2$ zijn. De enige oplossing hiervoor is $4-2=2$. Dit geeft ons een derde oplossing: $(3,2,9)$

Stel nu $b$ groter dan $2$, dan zit er in de vergelijking minstens één factor $3$ en minstens één factor $2$

Nu kan echter ofwel $x+1$ ofwel $x-1$ hoogstens één factor twee bevatten, want als $a\leq 3$ gebeurt dit zowiezo al en als $a>3$ dan zou anders zowel $x+1$ als $x-1$ deelbaar zijn door $4$, wat onmogelijk is.
1)
$x-1=2$ en $x+1=2^{a-1}3^{b-2}$, zodat dit de oplossing $(3,2,9)$ geeft die we al hadden.

2)
$x+1=2$ en $x-1=2^{a-1}3^{b-2}$. Dit heeft geen oplossingen, omdat een exponentiële functie nooit nul kan zijn.

3)
$x-1=2\cdot 3^{b-2}$ en $x+1=2^{a-1}$ zodat $2^{a-2}-3^{b-2}=1$. Dit geeft als enige oplossing $(4,3,21)$

4)
$x+1=2\cdot 3^{b-2}$ en $x-1=2^{a-1}$ zodat $3^{b-2}-2^{a-2}=1$. Dit geeft als oplossingen $(3,3,15)$ en $(5,4,51)$.

De zes oplossingen zijn dus $(0,3,6),(3,2,9),(3,3,15),(4,0,5),(4,3,21)$ en $(5,4,51)$.