just AM-GM en CS bij de juniors?
Opgave - JBaMO 2009 dag 1 vraag 3
$x,y,z \in \mathbb R$ zodat $ xyz = (1-x)(1-y)(1-z) $ met $0\le x,y,z \le 1.$
Bewijs dat er tussen de waarde $ (1-x)y,(1-y)z,(1-z)x $ zeker een waarde zit die minimum $0.25$ is en $1$ waarde die maximum $0,25$ is.
- login om te reageren
Oplossing
$x,y,z$ kunnen niet allen kleiner dan $0,5$ zijn.
Dan zal $(1-x)(1-y)(1-z)$ immers steeds groter zijn dan $xyz$.
Er is dus minstens 1 element groter dan of gelijk aan $0,5$ en om dezelfde reden ook minstens 1 element kleiner of gelijk aan $0,5$.
Stel nu $z\leq0,5$. Als nu $x\geq0,5$ dan is $x(1-z) \geq0,25$.
Anders moet $y\geq0,5$ en dan is $(1-x)y\geq0,25$.
Volledig analoog kan aangetoond worden dat er 1 waarde is die maximum $0,25$ is.