JBaMO 2008

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle oplossingen $(a,b,c,d) \in \mathbb R^4$ voor $\left\{\begin{array}{cc}a+b+c+d = 20,\\ ab+ac+ad+bc+bd+cd = 150.\end{array}\right.$

Vraag 2

De hoekpunten$ A,B$ van een gelijkzijdige driehoek $ ABC$ liggen op een cirkel $k$ met straal $ 1$ en het derde hoekpunt $ C$ ligt inwindig binnen $ k$.
Het punt $ D \not= B$, ligt op de omtrek van $ k$ zodat $ |AD|=|AB|$.
De lijn $ DC$ snijdt$ k$ nog eens in het punt $ E$. Vind de lengte $ |CE|.$

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle oplossingen van drietallen priemgetallen $(p,q,r)$ voor $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1 $

Vraag 4

Een $ 4\times 4$ vierkant is verdeeld in $ 16$ witte vakjes.
$2$ vakjes zijn buur als ze een gemeenschappelijke zijde hebben.
In een stap kiezen we een vakje en:
$[A]$ veranderen het kleur van zijn buren (van $W \to Z$ of $Z \to W$)
$[B]$ veranderen het kleur van zijn buren en van het vakje zelf.

Na exact $ n$ stappen zijn alle $ 16$ vakjes zwart.
Vind alle mogelijke waarden van $ n$ waarvoor dat geldt,
voor zowel als we $[A]$-stappen gebruikten (geval $1$)
als voor $[B]$-stappen (tweede geval).