de S van Simpel of van Saai?

Tweede poging:

Eerst de breuken wegwerken:

$p(r+1)-4q=q(r+1)$

Dit betekent dat $r+1|4q$

We gaan eerst de gevallen af waarbij $p,q$ of $r$ even is (dus gelijk aan $2$)

1)
$q=2$: Dit betekent dat $r+1|8$ zodat $r+1=1,2,4$ of $8$ zodat $r=0,1,3$ of $7$.
$r$ moet echter een priemgetal zijn, dus enkel $r=3$ en $r=7$ blijven over.
* $r=3$: $4p-8=8$ zodat $p=4$, wat niet kan omdat $p$ een priemgetal moet zijn.
* $r=7$: $8p-8=16$ zodat $p=3$. Dit geeft ons een eerste oplossing $(3,2,7)$

2)
$r=2$: dit betekent dat $3p-4q=3q$
$\Leftrightarrow 3p=7q$ en omdat $p$ en $q$ priem zijn kan enkel $p=7$ en $q=3$. Dit Geeft ons de tweede oplossing: $(7,3,2)$

3)
$p=2$: dan is $2(r+1)-4q=q(r+1)$
$\Leftrightarrow qr+5q-2r-2=0$
$\Leftrightarrow (q-2)(r+5)=-8$
Dit zou betekenen dat $q<2$, wat niet kan omdat $p$ priem is.

Vanaf nu nemen dus $p,q,r$ oneven.
Bekijk de vergelijking $p-\frac{4q}{r+1}=q\pmod2$

$RL\equiv 1\pmod2$ dus $p-\frac{4q}{r+1}\equiv 1\pmod2$ dus $\frac{4q}{r+1}\equiv 0\pmod2$

Dit betekent dat er maar één factor 2 in $r+1$ zit.
Dus $r+1|2q$

* stel eerst $r+1=2q$. Dan $2pq-4q=2q^2$
$\Leftrightarrow p-2=q$.
Stel dat $q\equiv 1\pmod3$. Dan zou $p\equiv 0 \pmod3$, wat onmogelijk is omdat $p$ een priemgetal is.
Stel dan $q\equiv 2\pmod3$. Dan zou $r\equiv 0 \pmod3$, (omdat $r=2q-1$) wat onmogelijk is omdat $r$ een priemgetal is.
De enige mogelijkheid die overblijft, is $q\equiv 0\pmod3$. Dan kan enkel $q=3$ omdat $q$ een priemgetal is. Dit geeft ons de derde oplossing: $(5,3,5)$

*stel nu dat $r+1\neq 2q$. Dan deelt $r+1$ een product van priemfactoren van $2q$, maar omdat $2$ en $q$ beide priem zijn, zou dit betekenen dat $r+1|2$ of $r+1|q$.
Dat eerste zou betekenen dat $r=0$ of $1$, wat onmogelijk is. Dat tweede zou betekenen dat $r+1=q$ (Omdat $q$ priem is). Maar dit zou beteken dat $q$ of $r$ even is, en dat hebben we hierboven al behandeld.

De drie oplossingen zijn dus $(7,3,2), (3,2,7)$ en $(5,3,5)$.