JBaMO 2002

Vraag 1 Opgelost!

In driehoek $ABC$ geldt dat $CA=CB$. $P$ is een punt op de omgeschreven cirkel tussen $A$ en $B$ (en aan de andere kant van $AB$ als $C$). $D$ is het voetpunt van de loodrechte uit $C$ op $PB$. Toon aan dat $PA+PB=2PD$.

Vraag 2 Opgelost!

Twee cirkels met middelpunten $O_1$ en $O_2$ snijden elkaar in $A$ en $B$ zodat de middelpunten elk aan één zijde van $AB$ liggen. De rechten $BO_1$ en $BO_2$ snijden hun respectievelijke cirkel opnieuw in $B_1$ en $B_2$. Zij $M$ het midden van $B_1B_2$ en zij $M_1,M_2$ punten op de cirkels met middelpunten $O_1$ en $O_2$ respectievelijk, zodat $\angle AO_1M_1=\angle AO_2M_2$ en $B_1$ ligt op de kleinste boog $AM_1$ en $B$ ligt op de kleinste boog van $AM_2$. Toon aan dat $\angle MM_1B=\angle MM_2B$.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen die precies 16 verschillende positieve delers $1=d_1

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs voor positieve reële $a,b,c$ de volgende ongelijkheid:
$$\frac1{b(a+b)}+\frac1{c(b+c)}+\frac1{a(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}.$$