2 cirkels

Opgave - JBaMO 2002 vraag 2

Twee cirkels met middelpunten $O_1$ en $O_2$ snijden elkaar in $A$ en $B$ zodat de middelpunten elk aan één zijde van $AB$ liggen. De rechten $BO_1$ en $BO_2$ snijden hun respectievelijke cirkel opnieuw in $B_1$ en $B_2$. Zij $M$ het midden van $B_1B_2$ en zij $M_1,M_2$ punten op de cirkels met middelpunten $O_1$ en $O_2$ respectievelijk, zodat $\angle AO_1M_1=\angle AO_2M_2$ en $B_1$ ligt op de kleinste boog $AM_1$ en $B$ ligt op de kleinste boog van $AM_2$. Toon aan dat $\angle MM_1B=\angle MM_2B$.

Oplossing

Via thales kan men zien dat $O_1M\parallel BB_2$, dus daaruit volgt de gelijkvormigheid van $\triangle B_1O_1M$ en $\triangle B_1BB_2$ zodat $|O_1M|=\frac12|BB_2|$ zodat $|O_1M|=|BO_2|=|O_2M_2|$. Analoog geldt dat $|O_1M_1|=|O_2M|$. Uit de congruentie van $\triangle AMO_2$ en $\triangle MAO_1$ ($O_1O_2\parallel B_1B_2$ uit thales met $A\in B_1B_2$) en uit $\angle AO_2M_2=\angle AO_1M_1$ volgt de congruentie van $\triangle M_1O_1M$ en $MO_2M_2$ zodat $|M_1M|=|MM_2|$.

Er rest ons aan te tonen dat $M_1,B$ en $M_2$ colineair zijn, zodat B op de basis van de gelijkbenige driehoek $M_1MM_2$ ligt, en het gevraagde duidelijk is. Dit is een kwestie van nogal saaie hoekberekening in graden (lezer, wees gewaarschuwd)

$\angle M_1BO_1 + \angle O_1BA + \angle ABO_2+\angle O_2BM_2$
$=90-\frac12 \angle M_1O_1B+$
$90-\frac12\angle AO_1B+$
$90-\frac12\angle AO_2B+$
$90-\frac12\angle BO_2M_2$

$=360-$
$\frac{\angle M_1O_1B+\angle AO_1B+\angle AO_2B+\angle BO_2M_2}{2}$
$=180$
want $\angle AO_2B+\angle BO_2M_2=\angle AO_1M_1$