driehoek
Opgave - JBaMO 2002 vraag 1
In driehoek $ABC$ geldt dat $CA=CB$. $P$ is een punt op de omgeschreven cirkel tussen $A$ en $B$ (en aan de andere kant van $AB$ als $C$). $D$ is het voetpunt van de loodrechte uit $C$ op $PB$. Toon aan dat $PA+PB=2PD$.
- login om te reageren
Oplossing
Aangezien $\angle CAP+\angle CBP=180$°(koordenvierhoek), is $\angle CAP=\angle CBS$. Breng $|PA|$ over op $PB$: construeer een punt $S$ op $PB$ zodanig dat $|PA|=|BS|$, zodat hieruit, uit $\angle CAP=\angle CBS$ en uit $|CA|=|CB|$ volgt dat $\triangle CPA \cong \triangle CBS$ zodat $|PC|=|SC|$. De hoogtelijn van een gelijkbenige driehoek ($\triangle PCS$) is ook de middelloodlijn, zodat $|PD|=\frac12|PS|=\frac12(|PA|+|PB|)$