ongelijkheid
Opgave - JBaMO 2002 vraag 4
Bewijs voor positieve reële $a,b,c$ de volgende ongelijkheid:
$$\frac1{b(a+b)}+\frac1{c(b+c)}+\frac1{a(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
AM-GM geeft ons dat $\frac1{b(a+b)}+\frac1{c(b+c)}+\frac1{a(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$.
Maar wegens AM-GM is $\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}$ en $\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}$, waaruit het gevraagde volgt.