BaMO 2003

Vraag 1 Opgelost!

Kan men 4004 natuurlijke getallen vinden zodanig dat de som van elke 2003 van deze getallen niet deelbaar is door 2003?

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek met $AB\neq AC$, en $D$ het snijpunt van de raaklijn aan de omgeschreven cirkel in $A$ met $BC$. Beschouw de punten $E,F$ die de snijpunten zijn van de loodrechten uit $B$ en $C$ op $BC$ respectievelijk, en de middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ respectievelijk. Bewijs dat $D,E,F$ collineair zijn.

Vraag 3

Vind alle functies $f\mathbb Q\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan volgende eigenschappen:
(i) $f(1)+1>0$,
(ii) $f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-x-y+xy,\ \forall\ x,y\in\mathbb Q$,
(iii) $f(x)=2f(x+1)+x+2,\ \forall\ x\in\mathbb Q$.

Vraag 4

Zij $ABCD$ een rechthoek met zijden $m,n$ die opgemaakt is uit $m\times n$ eenheidsvierkantjes, met $m$ en $n$ twee oneven onderling ondeelbare natuurlijke getallen. De diagonaal $AC$ snijdt de eenheidsvierkantjes in de punten $A_1,A_2,\ldots,A_k$, met $k\in\{2,...,n\}$ en $A_1=A$ en $A_k=C$. Bewijs dat
$$A_1A_2-A_2A_3+A_3A_4-\cdots+(-1)^kA_{k-1}A_k= \frac{\sqrt{m^2+n^2}}{mn}.$$