BaMO 1999

Vraag 1

Gegeven een scherphoekige driehoek $ABC$, zij $D$ het midden van de boog $BC$ van de omgeschreven cirkel rond de driehoek $ABC$ die het punt $A$ niet bevat. De punten die symmetrisch zijn aan $D$ ten opzichte van de rechte $BC$ en het midden van de omgeschreven cirkel $O$ worden genoteerd met $E$ en $F$ respectievelijk. Tenslotte, zij $K$ het midden van $EA$. Bewijs dat
(i) De cirkel die door de middens van de zijden van $\triangle ABC$ gaat, gaat ook door $K$.
(ii) De rechte door $K$ en het midden van $BC$ staat loodrecht op $AF$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $p>2$ een priemgetal zodat $3|p-2$ en stel
$$S=\{y^2-x^3-1|\ x,y\in\mathbb Z,0\leq x,y\leq p-1\}.$$
Bewijs dat er maximum $p-1$ elementen van $S$ deelbaar zijn door $p$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek en zij $M,N,P$ de voetpunten van de loodrechten getekend vanuit het zwaartepunt $G$ van $\triangle ABC$ tot de zijden $AB,BC,CA$ respectievelijk. Bewijs dat
$$\frac4{27}<\frac{S(\triangle MNP)}{S(\triangle ABC)}\leq\frac14$$
als $S(V)$ de oppervlakte van veelhoek $V$ voorstelt.

Vraag 4

Zij $0\leq x_1\leq x_2\leq x_3\leq\ldots\leq x_n\leq\ldots$ een rij natuurlijke getallen, zodat voor iedere $k\geq0$, het aantal termen van de rij die kleiner of gelijk zijn aan $k$ eindig is, en stel dat aantal voor door $y_k$. Bewijs dat voor alle natuurlijke getallen $m,n$ geldt dat
$$\sum_{i=0}^nx_i+\sum_{j=0}^my_j\geq(n+1)(m+1).$$