deelbaar door p

We bewijzen dat, indien $p \equiv 2 \pmod{3}$, de verzameling $\left\{x^3 \left|\,x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right.\right\}$ een permutatie is van $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Het is voldoende om aan te tonen dat de afbeelding $\varphi \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} x \mapsto x^3$ injectief is. Duidelijk is dat $\varphi(0) = 0$. Neem nu $x,y \in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^*$ zodat $\varphi(x) = \varphi(y)$, of nog, $x^3 = y^3$. Dan is $x^{p - 2} = y^{p - 2}$ (verhef beide leden tot de macht $(p - 2)/3$ - hier gebruiken we de voorwaarde $p \equiv 2 \pmod{3}$). Omdat ook $x^{p - 1} = y^{p- 1} = 1$ (Fermat) hebben we dan inderdaad dat $x = y$. Bijgevolg is $\varphi$ injectief en dus ook bijectief. De rest is triviaal. Voor elke vaste $y$ vind je namelijk precies één $x$ zodanig dat $y^2 - x^3 - 1 = 0$ in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, volgens wat we hierboven bewezen hebben. Ik vermoed wel dat er een foutje in de vraag staat: moet het niet $p$ zijn in plaats van $p - 1$? Of moet $0 \leq x, y \leq p - 1$ niet vervangen worden door $1 \leq x, y \leq p - 1$?