BaMO 1989

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen die de som zijn van de kwadraten van hun vier kleinste positieve delers.

Vraag 2 Opgelost!

Stel dat $p=\overline{p_np_{n-1}\ldots p_2p_1p_0}$ een priemgetal is, met $p_n>1$. Toon aan dat de veelterm $p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+ \cdots+p_2x^2 +p_1x+p_0$ geen factoren heeft die veeltermen zijn met gehele coëfficiënten en graad tussen 0 en $n$.

Vraag 3

De driehoek $ABC$ heeft oppervlakte 1. Neem $X$ op $AB$ en $Y$ op $AC$ zodat het zwaartepunt $G$ aan de andere kant ligt van $XY$ als $B$ en $C$. Toon aan dat de oppervlakte van $BXGY$ plus de oppervlakte van $CYGX$ minimum $4/9$ is. Wanneer is die som precies $4/9$?

Vraag 4

$S$ is een verzameling van deelverzamelingen van $\{1,...,n\}$ met 3 elementen. Elke twee verschillende elementen van $S$ hebben maximum één gemeenschappelijk element. Toon aan dat $S$ niet meer dan $\displaystyle{\frac{n(n-1)}6}$ elementen kan hebben. Vind een verzameling $S$ met $\displaystyle{\frac{n(n-4)}6}$ elementen.