veelterm

Dit is heel mooi. Veronderstel dat het resultaat niet geldt, m.a.w. dat de veelterm reducibel is over $\mathbb{Z}$, dan bestaan er veeltermen $f(x)$ en $g(x)$ met gehele coëfficiënten zodat de gegeven veelterm kan worden geschreven als $f(x)g(x)$. Dan geldt dat $p = f(10) g(10)$. We gaan nu aantonen dat $\left|f(10)\right| > 1$ en $\left|g(10)\right|> 1$: dat geeft de gewenste contradictie omdat $p$ priem is.

Dit vond ik dan het moeilijke stuk. We kunnen $f(x)$ ontbinden als $\alpha\left(x - w_1\right)\cdots\left(x - w_k\right)$ met $\alpha \in \mathbb{Z}$ en $w_i \in \mathbb{C}$ voor elke $i$. Elke $w_i$ is ook een wortel van de gegeven veelterm. De driehoeksongelijkheid geeft ons nu dat$\left|p_n\right| = \left|\frac{p_{n - 1}}{w_i} + \frac{p_{n - 2}}{w_i^2} + \cdots + \frac{p_1}{w_i^{n - 1}} + \frac{p_0}{w_i^n}\right| \leq 9 \left(\left|\frac1{w_i}\right| + \left|\frac1{w_i^2}\right| + \cdots + \left|\frac1{w_i^{n - 1}}\right| + \left|\frac1{w_i^n}\right|\right)$ want elke $p_i$ behoort tot $\{0,1,2,\,\cdots,9\}$. Omdat $p_n \geq 2$ volgt daaruit dat $\left|w_i\right| < 9$ voor elke $i$: immers, anders zou $\left|p_n\right| \leq 9\left(\frac19 + \frac{1}{9^2} + \cdots\right) = \frac98 < 2$. Nu geldt dus voor elke $i$ dat $\left|10 - w_i\right| > 1$. Dat is samen met $\left|\alpha\right| \geq 1$ (cfr. supra) genoeg om te besluiten dat $\left|f(10)\right| > 1$ en analoog $\left|g(10)\right|> 1$.