delers

We noemen het gezochte getal $n$. Stel dat $n$ oneven is, dan heeft hij geen even delers. Bijgevolg is de som van de kwadraten van zijn vier kleinste delers even, contradictie.

Dus moet $n$ even zijn. Bijgevolg is zijn de $2$ kleinste delers $1$ en $2$.

Stel dat $n$ deelbaar is door $4$, dan krijgen we dat $n = 1^2+2^2+4^2+p^2 = 21+p^2$
met $p$ een priemgetal, want als $p$ samengesteld zou zijn, zou er dus nog een deler zijn van $n$ kleiner dan $p$.

Omdat $n$ deelbaar is door $p$, moet $p$ gelijk zijn aan $3$ of $7$. Beide gevallen leveren contradictie op.

Dus is $n$ niet deelbaar door $4$.
De twee kleinste delers buiten $1$ en $2$ moeten even en oneven zijn. We kunnen schrijven dat
$$n=1^2+2^2+q^2+4q^2 = 5 + 5q^2$$
met $q$ een priemgetal, om dezelfde reden als daarnet.

$n$ is deelbaar door $5$, en $q=3$ levert een contradictie, dus moet $q=5$. Dit geeft ons de oplossing $n= 1^2+2^2+5^2+10^2= 130$