reeks 1 2010

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vier personen proberen een onduidelijk geschreven getal van vier cijfers te lezen.
Volgens een van hen staat er $3657$, volgens een tweede $1687$, terwijl de anderen er
$1282$ en $3203 $ van maken. Achteraf blijkt dat ieder precies twee fouten gemaakt heeft.
Bepaal dat getal.

Vraag 2

Zij $n \in N$. Stel dat $a_0$ tot $a_n$ $n+1$ reele getallen zijn waarvoor geldt dat
$0=a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+ \frac{a_n}{n+1}$
Bewijs dat er een reeel getal $x$ bestaat zodat $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots+ a_1x + a_0 = 0.$

Vraag 3

Zij $n \in N_0$. Bepaal, in functie van $n$, het maximale aantal verschillende oplossingen
van de vergelijking $p(x) = ln(x)$, waarbij $p(x)$ een veelterm van graad $n$ is.

Vraag 4

Zij $(x_n)_n$ de rij gedefinieerd door $x_1 = 0.5$ en $x_{k+1} = x_k^2 +x_k$ voor $k\ge 1.$
Bewijs dat:
$\sum_{i=1}^{2010} \frac{1}{x_i+1}<2$

Vraag 5

Beschouw de convexe vijfhoek $ABCDE$, waarin al de driehoeken $\triangle ABC, \triangle BCD,
\triangle CDE,\triangle DEA $ en $\triangle EAB $dezelfde oppervlakte hebben.
De rechten $AC$ en $AD$
snijden $BE$ in de punten $M$ en $N$ respectievelijk. Bewijs dat $|BM|=|EN|.$

Vraag 6

(a) Stel dat A en B twee complexe $n \times n$ matrices zijn waarvoor er $a, b \in \mathbb{R_0}$ bestaan zodat $AB = aA + bB$. Bewijs dat $A$ en $B$ commuteren.
(b) Zij A en B complexe $n \times n$ matrices ($n \ge1$) en zij In de $n \times n$ eenheidsmatrix.
Bewijs dat als $AB - B^2A^2 = I_n$ en $A^3 = -B^3$, dan is $ BA - A^2B^2 = I_n.$