EGMO 2020

Dag 1

Vraag 1

De (strikt) positieve gehele getallen $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030}$ voldoen aan de volgende eigenschap: $2a_{n+2} = a_{n+1} +4a_n$ voor $n =0,1,2,\ldots,3028$. Bewijs dat ten minste een van de getallen $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030}$ deelbaar is door $2^{2020}$.

Vraag 3

Laat $ABCDEF$ een convexe zeshoek zijn met $\angle B=\angle D=\angle F$ en $\angle A=\angle C=\angle E$.

Veronderstel dat de binnenbissectrices van $\angle A, \angle C$ en hoek $\angle E$ door een punt gaan.

Bewijs dat de binnenbissectrices van $\angle B, \angle D$ en hoek $\angle F$ ook door een punt gaan.

Dag 2

Vraag 1

Een permutatie van de gehele getallen $1, 2, \ldots, m$ wordt vers genoemd als er geen positief geheel getal $k < m$ bestaat waarvoor de eerste $k$ getallen in de permutatie $1, 2, \ldots, k$ in een bepaalde volgorde voorkomen. Laat $f_m$ het aantal verse permutaties zijn van de gehele getallen $1, 2, \ldots, m$.

Bewijs dat $f_n \ge n \cdot f_{n - 1}$ voor alle $n \ge 3$.

Bijvoorbeeld, als $m = 4$, dan is de permutatie $(3, 1, 4, 2)$ vers, terwijl de permutatie $(2, 3, 1, 4)$ dat niet is.

Vraag 2

Beschouw de driehoek $ABC$ met $\angle BCA > 90^{\circ}$. De omgeschreven cirkel $\Gamma$ van $ABC$ heeft straal $R$. Er is een punt $P$ in het inwendige van het lijnsegment $AB$ zodat $PB = PC$ en de lengte van $PA$ gelijk is aan $R$. De loodlijnhalverende lijn van $PB$ snijdt $\Gamma$ op de punten $D$ en $E$.

Bewijs dat $P$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel is van de driehoek $CDE$.

Vraag 3

Laat $m>1$ een geheel getal zijn. Een oneindig rijtje $a_1,a_2,a_3,$... wordt op de volgende manier gedefinieerd: $a_1 = a_2 =1, a_3 =4$, en voor alle $n \ge4\colon a_n = m(a_{n−1}+a_{n−2})−a_{n−3}$. Vind alle gehele getallen $m$ zodat elke term van het rijtje het kwadraat is van een geheel getal.

Vraag 3

Laat $m > 1$ een geheel getal zijn. Een rij $a_1, a_2, a_3, \ldots$ is gedefinieerd door:

$a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 4$, and for all $n \ge 4$,$$a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.$$
Bepaal alle gehele getallen $m$ waarvoor elk element van de rij een kwadraat is.