IMO 2020

Dag 1

Vraag 1

Beschouw de convexe vierhoek ABCD. Het punt $P$ ligt in het inwendige van ABCD.
Gegeven is dat de volgende verhoudingen gelijk zijn:
$∠PAD \colon ∠PBA \colon ∠DPA = 1 \colon 2 \colon 3 = ∠CBP \colon ∠BAP \colon ∠BPC.$
Bewijs dat de volgende drie lijnen (rechten) door één punt gaan: de binnenbissectrice van hoek
∠ADP, de binnenbissectrice van hoek ∠PCB en de middelloodlijn van lijnstuk AB.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven zijn reele getallen $a\ge b \ge c \ge d > 0$ die voldoen aan $a+b+c+d=1.$
Bewijs dat $(a+2b+3c+4d)a^a b^b c^c d^d <1.$

Vraag 3

Gegeven zijn $4n$ stenen met gewichten $1, 2, 3, \ldots , 4n$. Elke steen is gekleurd in één van
de $n$ gegeven kleuren en er zijn vier stenen van elke kleur. Bewijs dat de stenen in twee stapels
verdeeld kunnen worden zodanig dat aan de volgende twee voorwaarden wordt voldaan:
• Het totale gewicht van de ene stapel is gelijk aan het totale gewicht van de andere stapel.
• Elk van beide stapels bevat twee stenen van elke kleur.

Dag 2

Vraag 1

Gegeven is een geheel getal $n$ >$ 1$. Er zijn $n^2$ stations op een berghelling, allemaal
op verschillende hoogtes. Er zijn twee firma’s, A en B, die elk $k$ kabelbanen beheren. Met elke
kabelbaan kun je van een van de stations naar een hogergelegen station gaan (zonder tussenstops).
De $k$ kabelbanen van A hebben $k$ verschillende beginpunten en $k$ verschillende eindpunten, en een
kabelbaan die hoger begint dan een andere, eindigt ook hoger. Hetzelfde geldt voor firma B. We
zeggen dat twee stations door een firma verbonden zijn als je van het lagere naar het hogere station
kunt gaan door alleen gebruik te maken van een of meer kabelbanen van die firma (geen andere
bewegingen tussen de stations zijn toegestaan).
Bepaal het kleinste (strikt) positieve gehele getal $k$ zodat je zeker weet dat er twee stations zijn
die door de beide firma’s verbonden zijn.

Vraag 2

Gegeven is een stapel van $n>1$ kaarten. Op iedere kaart staat een (strikt) positief
geheel getal. De stapel kaarten voldoet aan de eigenschap dat voor elk tweetal kaarten het rekenkundig gemiddelde van de getallen op deze kaarten gelijk is aan het meetkundig gemiddelde van de
getallen op een of meerdere kaarten van de stapel.
Voor welke $n$ volgt dat de getallen op de kaarten allemaal gelijk zijn?

Vraag 3

Bewijs dat er een (strikt) positieve constante $c$ bestaat zodanig dat de volgende uitspraak
waar is:
Beschouw een geheel getal $n> 1$ en een verzameling $S$ van n punten in het vlak zodanig dat de
afstand tussen elke twee verschillende punten in S minstens 1 is. Dan is er een lijn (rechte) $\ell$ die S
verdeelt zodanig dat de afstand van elk punt van S tot $\ell$ minstens $cn^{−1/3}$ is.
(Een lijn ℓ verdeelt een verzameling punten S als er een lijnstuk tussen punten van S is dat $\ell$
snijdt.)
Opmerking. Zwakkere resultaten waarbij $cn^{−1/3}$ vervangen is door $cn^{-\alpha}$ kunnen beloond worden met punten afhankelijk van de waarde van de constante $\alpha > 1/3$.