IMO 2011

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Voor een verzameling $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ van vier verschillende positieve gehele getallen
(verschillend van nul) noteren we de som $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ als $s_A$.
We schrijven $n_A$ voor het aantal paren $(i, j)$ met $1 \le i < j \le 4$ waarvoor $a_i + a_j$ een deler is van $s_A$.
Bepaal alle verzamelingen $A$ van vier verschillende positieve gehele getallen (verschillend van nul)
met de grootst mogelijke waarde van $n_A$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $S$ een eindige verzameling van ten minste twee punten in het vlak, waarvan er geen
drie op één lijn (rechte) liggen.
Een windmolen is een proces dat begint met een lijn (rechte) $l$ die
door één punt P van $S$ gaat. De lijn draait met de klok mee om het draaipunt P tot er voor het eerst
een ander punt van $S$ op deze lijn komt te liggen; we noemen dit punt Q en dit wordt het nieuwe
draaipunt. We zeggen dan dat Q een klap van de molen krijgt. De lijn draait nu met de klok mee
om Q, totdat opnieuw een punt van S een klap van de molen krijgt. De windmolen deelt zo oneindig
veel klappen uit.
Laat zien dat we een punt P van $S$ en een lijn $l$ door P kunnen kiezen zodat er een windmolen
ontstaat waarbij elk punt van $S$ oneindig veel klappen van de molen krijgt.

Vraag 3

Zij $ f $:$\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ een functie waarvoor geldt dat
$$f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x)) \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bewijs dat $f(x)=0$ $\forall x \le 0.$

Dag 2

Vraag 1

$n>0$ is een natuurlijk getal .
We hebben een balans en $n$ gewichten met massa $2^0,2^1,\cdots 2^{n-1}$ .

We moeten de $n$ gewichten, één voor één, op één van de twee schalen van de balans
plaatsen zo dat de rechterschaal nooit zwaarder is dan de linkerschaal. In elke stap kiezen we een
gewicht dat nog niet op de balans staat en plaatsen het op de linker- of op de rechterschaal, totdat
alle gewichten op de balans geplaatst zijn.
Bepaal het aantal manieren waarop we dit kunnen doen.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $f$ een functie van de gehele getallen naar de positieve gehele getallen (verschillend
van nul). Stel dat voor alle gehele getallen $m$ en $n$ het verschil $f(m)-f(n)$ deelbaar is door $f(m-n)$.
Bewijs dat voor alle gehele getallen $m$ en $n$ met $f(m) \le f(n)$ geldt dat $f(n)$ deelbaar is door $f(m)$.

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met omgeschreven cirkel $\omega$. Zij $l$ een raaklijn
aan $\omega$ en definieer $t_a,t_b$ en $t_c$ als de lijnen verkregen door $l$ respectievelijk ten opzichte van de lijnen$BC,AC$ en $AB$ te spiegelen.

Toon aan dat de omgeschreven cirkel van de driehoek gevormd door de snijpunten van $t_a,t_b,t_c$ raakt aan $\omega.$