het beroemde windmolenprobleem

Zij $V$ de verzameling gegeven punten (geen 3 collineair). Neem een cirkel $C$ waarvoor de verzameling punten strikt in $C$ ligt (dit gaat want $V$ is eindig). Voor een lijn $l$ door een punt $P\in V$ noemen we de twee snijpunten van $l$ met $C$ respectievelijk het noorden (N) en het zuiden (Z) van $l$. Het oosten en westen van $l$ zijn de halfvlakken door $l$ geïnduceerd, volgens de richting van de windroos, O en W zijn het aantal punten van $V$ in het oosten, resp. westen. Tenslotte noemen we een lijn $l$ die precies 1 punt van $V$ gaat een scheidingslijn als er geldt dat $|O-W|\leq 1$ en $O\ge W$.

eerst twee lemma's betreffende het bestaan van zulke scheidingslijnen:

Lemma 1: voor alle $P\in V$ bestaat er minimum één scheidingslijn door $P$.

bewijs: Neem een willekeurige lijn $l$ door $P$ die niet door een ander punt van $V$ gaat. laat WLOG $O\ge W$. Als $O=W$ (of $|O-W|=1$) zijn we klaar. Laat nu de lijn $l$ continu roteren totdat de lijn 180° is gedraaid en in het verlengde ligt van zijn beginpositie, maar omgekeerd geroteerd. Er geldt dat gedurende deze beweging de kwantiteit $O-W$ van positief naar negatief gaat (nl. naar $W-O$) en bovendien geldt dat elke keer wanneer $l$ een punt uit $V\setminus\{P\}$ passeert, $O-W$ met 2 toeneemt of afneemt. Er is dus een moment waar $|O-W|\le 1$, want $O-W$ gaat van positief naar negatief in stapjes van 2 tijdens de rotatie.

Lemma 2: voor alle $Q\in C$, en $Q$ niet collineair met 2 punten uit $V$, bestaat er exact één $P\in V$ zodat $PQ$ een scheidingslijn is.
(we noemen voor alle $Q\in C$ deze unieke scheidingslijn de scheidingslijn van $Q$)

bewijs: Zij $l$ de raaklijn van $Q$ aan $C$. alle punten van $V$ zijn nu aan dezelfde kant van $l$. Wanneer we analoog zoals bij lemma 1 de lijn $l$ 180° laten draaien, zullen alle punten één voor één veranderen van het ene halfvlak van $l$ naar het andere. Bekijk alle situaties bij deze rotatie wanneer er een punt $P\in V$ op $l$ ligt. Als je chronologisch van het begin van de rotatie tot het einde van deze rotatie al deze situaties naast elkaar leggen zien we dat bij elke situatie de waarde $O-W$ strikt daalt of stijgt gedurende de hele rotatie. Er bestaat dus een unieke scheidingslijn: de waarde O-W daalt (of stijgt) namelijk in stapjes van 2, en bijgevolg moet ooit gelden $O-W=0$ of $1$.

Een grenspunt is een punt $Q\in C$ dat op een rechte door twee punten uit $V$ ligt.
We noemen een open interval $\subset C$ dat geen grenspunten bevat en waarvoor de grenswaarden twee grenspunten zijn een goed interval.

Lemma 3: zij $I\subset C$ een goed interval. Neem $Q,R\in I$. Zij $P\in V$ zodat $PQ$ de unieke scheidingslijn van $Q$ is. Dan is $PR$ de scheidingslijn van $R$

Bewijs: Indien er een punt $A\in V$ begrepen tussen de rechten $PR$ en $PQ$ en de boog $QR$ zou liggen, snijdt $PA$ $I$ in een grenspunt, wat niet kan. Idem liggen er geen punten $A\in V$ in de zone die recht tegenover $P$ ligt ten opzichte van de vorige beschreven zone. Bijgevolg moet er in de beschreven zones geen punten van $V$ liggen, en dus is $O-W$ voor $PR$ gelijk aan $O-W$ voor $PQ$. Dit betekent dat $PR$ een scheidingslijn is, deze is uniek wegens lemma $2$.

Nu zullen we beginnen met het eigenlijke probleem:
Neem een willekeurige scheidingslijn $l$ die op $P \in V$ ligt, en start de windmolen. Merk op dat $O-W$ invariant is zolang $l$ precies op één punt ligt van $V$. dit betekent dat $l$ in dat geval altijd een scheidingslijn is. We claimen dat 1) $l$ alle mogelijke draaipunten doorloopt, en 2) daarna terug komt bij $P$ als draaipunt, zodat het gevraagde wordt aangetoond.

1) Bekijk gedurende het windmolen-zijn van $l$ het zuiden $Z$ van $l$. Omdat $Z$ op $C$ ligt, is $l$ precies de scheidingslijn van $Z$ op elk moment wanneer $Z$ geen grenspunt is. Omdat elke scheidingslijn een snijpunt heeft met $C$, en omdat $Z$ alle mogelijke plaatsen op $C$ kan aannemen, zijn we klaar wegens lemma 2: alle scheidingslijnen worden doorlopen bij het draaien van de windmolen.
[ Z beweegt in de richting van de klok op de cirkel en maakt een volledige omwenteling ]
2) wanneer $Z$ helemaal is rondgedraaid, komt het punt terug aan bij zijn beginpositie en $l$ terug door $P$ gaan omdat $ZP$ de scheidingslijn van $Z$ is.
[ de omwenteling kan oneindig vaak herhaald worden]

QED