correcter verwoord dan in de IMOSL
Opgave - IMO 2011 dag 2 vraag 2
Zij $f$ een functie van de gehele getallen naar de positieve gehele getallen (verschillend
van nul). Stel dat voor alle gehele getallen $m$ en $n$ het verschil $f(m)-f(n)$ deelbaar is door $f(m-n)$.
Bewijs dat voor alle gehele getallen $m$ en $n$ met $f(m) \le f(n)$ geldt dat $f(n)$ deelbaar is door $f(m)$.
- login om te reageren
Oplossing
Allereerst enkele observaties: $f(m)\mid f(m)-f(0)$ en bijgevolg moet $f(m)\mid f(0)$ voor alle $m\in\mathbb{Z}$.
Omdat $f(-m)\mid f(0)-f(m)$ impliceert dat $f(-m)\mid f(m)$ en dus ook $f(m)\mid f(-m)$ zal wegens $f(m),f(-m)\in\mathbb{N}$ gelden dat $f$ even is: $f(m)=f(-m)$
Bekijk twee beeldwaarden $f(m)$ en $f(n)$ waarvoor $f(m)\leq f(n)$.
We hebben $f(n-m)\mid f(n)-f(m)$ (*) en ook dat $f(n)\mid f(n-m)-f(-m)=f(n-m)-f(m)$ wegens $f$ even.
Maar $f(n-m)-f(m) < f(n-m) < f(n)$ (die laatste ongelijkheid is wegens (*)) en dus is $f(n-m)-f(m)\leq 0$.
Echter, $f(n-m)-f(m) > -f(n)$ want $f(n-m)>0>f(m)-f(n)$ en bijgevolg moet $f(n-m)=f(m)$.
Wegens (*), moet nu $f(m)\mid f(n)-f(m)$ en we zijn klaar!