nr 1 altijd doenbaar

Schrijf $0 < a_1 < a_2 < a_3 < a_4$
Er zijn 6 combinaties mogelijk om $a_i$ en $a_j$ te selecteren. Echter kan nooit $a_3+a_4|s_a$ want $2(a_3+a_4)>a_1+a_2+a_3+a_4$. Om diezelfde reden kan ook nooit $a_2+a_4|s_a$. $n_a$ zal dus maximaal gelijk zijn aan $4$.
We zoeken dus alle getallen die voldoen aan
$a_1+a_2|s_a \Rightarrow a_1+a_2|a_3+a_4$
$a_1+a_3|s_a \Rightarrow a_1+a_3|a_2+a_4$
$a_1+a_4|s_a \Rightarrow a_1+a_4|a_2+a_3$
$a_2+a_3|s_a \Rightarrow a_2+a_3|a_1+a_4$

Uit de twee laatste vergelijkingen zien we dat $a_1+a_4=a_2+a_3$
Stel nu dus $a_1=p$, $a_2=q$, $a_3=r$, $a_4=q+r-p$

Dan moet enkel nog
$p+q|2r+q-p \Rightarrow p+q|2(r-p)$
$p+r|2q+r-p \Rightarrow p+r|2(q-p)$

Dus $k(p+r)=2q-2p$ met $k$ natuurlijk en niet gelijk aan $0$.
$\Leftrightarrow (k+2)p=2q-kr$.
LL is strikt positief, dus moet ook RL strikt positief zijn, en omdat $r>q$ impliceert dit dat $k=1$
Bijgevolg is $3p=2q-r$.

We hadden ook nog dat $p+q|2(r-p) \Rightarrow p+q|2(r+q)$

We kunnen dus stellen dat $\frac{2(r+q)}{p+q}=l$ met $l$ natuurlijk en niet gelijk aan $0$.
$\Leftrightarrow \frac{6r+6q}{5q-r}=l$
Wat na euclidische deling equivalent is aan $\frac{7r+q}{5q-r}=n$ met $n$ natuurlijk en niet gelijk aan $0$.
Schrijf dit uit naar $q(5n-1)=r(7+n)$.

Voor $n=1$: $q=2r$: onmogelijk.
Voor $n=2$: $q=r$: onmogelijk.
Voor $n=3$: $14q=10r$: neem daarom $q=5b$, $r=7b$ zodat $a_1=b$, $a_2=5b$, $a_3=7b$, $a_4=11b$.
Voor $n=4$: $19q=11r$: neem daarom $q=11b$, $r=19b$ zodat $a_1=b$, $a_2=11b$, $a_3=19b$, $a_4=29b$.
Voor $n=5$:$2q=r$: onmogelijk want $2q-r=3p>0$
Voor $n\geq 6$:$2q < r$: onmogelijk omdat $2q-r>0$

Er zijn dus 2 oplossingen:

$(b,5b,7b,11b)$ en $(b,11b,19b,29b)$ waarbij $b$ natuurlijk en niet gelijk aan $0$.