IMO 2010

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zoek alle functies f$ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zodat er geldt dat

$f([x]y)=f(x)[f(y)].$

***
Hierbij wordt met $[x]$ de entierfunctie bedoelt die een getal afrond naar beneden op zijn geheel deel.

Vraag 2 Opgelost!

Laat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel zijn van een driehoek $\triangle{ABC}$ en $\phi$ de omgeschreven cirkel. De lijn $AI$ snijdt $\phi$ opnieuw in $D.$ Laat $E$ een punt zijn op de boog $(BDC)$ en $F$ een punt op zijde $[BC]$ zodat
$\angle{BAF}= \angle{CAE} <1/2\angle{BAC}.$

Laat $G$ het midden zijn van $[IF]$, bewijs dat de lijnen $DG$ en $EI$ elkaar snijden op $\phi$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $\mathbb{N}_0$ de verzameling van de natuurlijke getallen zonder $0$. Zoek alle functies $g \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ zodat
$(g(m)+n)(g(n)+m)$ een volkomen kwadraat is$ \forall m,n \in \mathbb{N}_0$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $P$ een punt binnen een driehoek $\triangle{ABC}.$ De lijnen $AP,BP$ en $CP$ snijden de omgeschreven cirkel $\Gamma$ van $\triangle{ABC}$ opnieuw in $K,L$ en $M $ respectievelijk. De raaklijn aan $\Gamma$ in $C$ snijdt $AB$ in $S.$ Stel dat $|SC|=|SP|$, bewijs dat $|MK|=|ML|.$ ($\triangle{ABC}$ is ongelijkzijdig, of $|AC|\not=|BC|$ op zijn minst)

Vraag 2

Men heeft $6 $ dozen $B_1$ tot $B_6$ met in elke doos $1$ munt.
Men voert hierop handelingen uit, $2$ soorten zijn toegestaan:

-handeling type 1: men neemt uit doos $B_i$ 1 munt en legt er 2 in doos $B_(i+1)$
( dit kan voor $i \in\{1,2,3,4,5\}$ )
-handeling type 2: men neemt uit doos $B_i $1 munt en wisselt dan de inhoud van dozen $B_(i+1) $ en $ B_(i+2)$
(dit kan voor$ i \in \{1,2,3,4\})$

Is het mogelijk na een eindig aantal handelingen de dozen B1 tot B5 leeg te krijgen en in doos B6 $2010^{2010^{2010}}$ munten.

Opmerking: in deze internationale competitie is $a^{b^c}= a^{(b^c)}$ ter verduidelijking.

Vraag 3

Zij $a_1,a_2,\cdots$ een rij van positieve reële getallen. Veronderstel dat er een natuurlijk getal $s$ is zodat
$a_n= max\{ a_k + a_{(n-k)} |1\le k\le n-1\}$ voor alle $n > s.$
Bewijs dat er natuurlijke getallen $ l$ en $N$ bestaan met $l \le s$ en zodat $a_n= a_l+a_{(n-l)}$ voor alle $n\ge N$.