functievgl met entierfunctie

We maken een gevalsonderscheid.

Geval 1: Veronderstel $f(0) \neq 0$.

Zij $x=0$. Dan vinden we dat $f(0)=f(0) [f(y)] \Leftrightarrow 1=[f(y)]$ voor willekeurige, reële $y$. Zij $y=0$, er geldt dat $f(x)=f(0)$ voor willekeurige $x$. Dus $f$ is constant. Aangezien $[f(x)]=1$, geldt dat $f(x)=c$ met $1 \leq c < 2$. Deze functie voldoet ook, aangezien $f([x]y)=c=c*1=f(x) [f(y)]$.

Geval 2: Veronderstel $f(0)=0$.

Stel $0 \leq x < 1$. Dan geldt dat $f([x]y)=f(0)=0=f(x)[f(y)]$. We maken terug een gevalsonderscheid:

Geval 2.1: Zij $[f(y)]=0$ voor alle reële $y$. Dan geldt dat $f([x]y)=0$ voor alle $x$ en $y$. Zij $x=1$, we vinden dat $f(y)=0$ voor alle reële $y$. Het is triviaal dat deze functie ook voldoet.

Geval 2.2: Veronderstel $f(x)=0$ voor alle $0 \leq x < 1$.

Veronderstel dat $0 \leq y < 1$. Dan $f([x]y)=f(x)[f(y)]=0$ voor willekeurige $x$.
Zij $a$ een willekeurig, strikt positief reëel getal. Zij $x=a+1$. Er geldt dat $a < [a+1]$, en aangezien $a$ strikt positief is, geldt dus dat $0 < \frac{a}{[a+1]} < 1$. Zij dus $y=\frac{a}{[a+1]}$. Dan vinden we dat $f(a)=0$.
Zij nu $a$ een strikt negatief reëel getal. Er geldt dat $[a-1]< a <0$, en aangezien $a$ strikt negatief is, geldt dus dat $1 > \frac{a}{[a-1]} > 0$. Zij dus $y=\frac{a}{[a-1]}$ en $x=a-1$. Dan geldt ook nu dat $f(a)=0$. Dus ook in dit geval geldt dat $f(x)=0$ voor alle $x$.

Alle functies die voldoen zijn dus $f(x)=0$ en $f(x)=c$ met $1 \leq c < 2$. Q.E.D.