G4
Opgave - IMO 2010 dag 1 vraag 2
Laat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel zijn van een driehoek $\triangle{ABC}$ en $\phi$ de omgeschreven cirkel. De lijn $AI$ snijdt $\phi$ opnieuw in $D.$ Laat $E$ een punt zijn op de boog $(BDC)$ en $F$ een punt op zijde $[BC]$ zodat
$\angle{BAF}= \angle{CAE} <1/2\angle{BAC}.$
Laat $G$ het midden zijn van $[IF]$, bewijs dat de lijnen $DG$ en $EI$ elkaar snijden op $\phi$.
- login om te reageren
Oplossing
We gebruiken de standaardnotatie $\alpha = \angle BAC$ tot $\gamma= \angle ACB$.
Zei $H$ het snijpunt van $AI$ en $BC$.
We merken op dat $$\angle AED=\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD= \gamma + \frac{\alpha}{2}=\pi-\beta -\frac{\alpha}{2}=\angle AHB$$ en weten dat $$\angle FAH=\angle DAE .$$
Hieruit volgt dat $\triangle FAH\sim \triangle DAE$, waaruit volgt $AF\cdot AE=AH\cdot AD$.
Zij $J$ het middelpunt van de aangeschreven cirkel tegenover $A$.
Wegens het lemma hieronder geldt dat $AH\cdot AD=AI\cdot AJ$, waaruit volgt dat $\triangle AFJ\sim \triangle AIE$ (want $\angle FAJ=\angle IAE$ en $AI/AE=AF/AJ$) en dus $\angle AEI= \angle IJF=\angle IDG$ (die laatste gelijkheid omdat $DG$ een middenparallel is in $\triangle IJF$), en dus ligt het snijpunt van $DG$ en $IE$ op $\phi$. (het zijn gelijke omtrekshoeken)
Lemma: $AI\cdot AJ=AH\cdot AD$.
Omdat $A,I,H,D,J$ op die volgorde op een rechte liggen, stel voor het gemak $AI=a, IH=b, HD=c, DJ=d$. Het is welgeweten dat $IBJC$ een koordenvierhoek is, en het middelpunt van de cirkel die deze punten bevat is $D$ (i.h.b. $ID=DJ$ en dus $b+c=d$) Bijgevolg is wegens macht van een punt $HD\cdot HA=HB\cdot HC=HI\cdot HJ$ en dus $c(a+b)=b(c+d)$ waaruit $bd=ac$. We leiden af dat $b(a+b+c)=b(a+d)=a(b+c)=ad$, of equivalent: $a(a+b+c+d)=(a+b)(a+b+c)$, hetgeen we wilden aantonen.
QED