kwadraat maken met functies
Opgave - IMO 2010 dag 1 vraag 3
Zij $\mathbb{N}_0$ de verzameling van de natuurlijke getallen zonder $0$. Zoek alle functies $g \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ zodat
$(g(m)+n)(g(n)+m)$ een volkomen kwadraat is$ \forall m,n \in \mathbb{N}_0$
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat voor alle $m,n,k$ (met $k> g(n)$):
$$(g(m)-g(n)+k)(m+g(k-g(n)))=kwadraat\qquad (1)$$
$$k(n+g(k-g(n)))=kwadraat\qquad (2)$$
Stel nu dat $p$, een priemgetal, $g(m)-g(n)$ deelt, kies dan $k$ groot genoeg zodat $g(m)-g(n)+k$ precies eenmaal deelbaar is door $p$, en $k$ een oneven aantal keer deelbaar is door $p$. Uit hierboven volgt dan dat $m+g(k-g(n))$ en $n+g(k-g(n))$ beide deelbaar zijn door $p$.
Dus deelt p ook $m-n$.
Elk priemgetal dat $g(n+1)-g(n)$ deelt, moet dus $1$ delen, waaruit volgt dat $g(n+1)-g(n)=\pm1$.
Echter, $-1$ kan niet want dan bekomen we een uitspraak dat voor $k=g(n)+n-1>0$ geldt dat $k(k+2)$ een kwadraat is (vul m=n+1 in bij het gegeven). Bijgevolg is $g(n)=n+g(1)-1$ per inductie, al deze functies met $g(1)\ge 1$ zijn oplossingen.