IMO 2006

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek en zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Zij $P$ een punt binnen de driehoek zodanig dat $\angle PBA + \angle PCA= \angle PBC + \angle PCB$ . Bewijs dat $|AP|\ge |AI|$ en wanneer gelijkheid optreedt.

Vraag 2

Zij P een regelmatige $2006$-hoek. Een diagonaal van P noemen we goed als
zijn eindpunten de rand van P verdelen in twee stukken die beide bestaan uit een oneven
aantal zijden van P. De zijden van P noemen we ook goed.
Stel dat P door $2003$ diagonalen in driehoeken wordt verdeeld, zodanig dat geen twee
diagonalen elkaar snijden in het inwendige van P.

Bepaal het grootste aantal gelijkbenige driehoeken met twee goede zijden die in zo’n verdeling van P kunnen voorkomen.

Vraag 3

Bepaal het kleinste reëele getal M zodanig dat voor alle reëele getallen $a, b$
en $c$ de volgende ongelijkheid geldt:
$$ |ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+bc\left(b^{2}-c^{2}\right)+ca\left(c^{2}-a^{2}\right)|\leq M\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2} $$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle paren gehele getallen $(x, y)$ zodanig dat
$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $P(x)$ een veelterm van graad $n>1$ met gehele coëfficiënten en $k$ is strikt natuurlijk. We beschouwen de veelterm $Q(x)=P(P( \cdots P(x)))\cdots)$ waarin $P$ k keer voorkwam. Bewijs dat er maximaal $n$ gehele getallen bestaan waarvoor geldt dat $Q(t)=t.$

Vraag 3

Zij $P$ een convexe veelhoek. Aan elke zijde $b$ van $P$ wordt de maximale
oppervlakte toegekend van een driehoek die $b$ als een zijde heeft en bevat is in $P$.
Bewijs dat de som van alle oppervlaktes die zijn toegekend aan de zijden van $P$ ten
minste tweemaal zo groot is als de oppervlakte van $P$.