typische meetkunde in't kort
Opgave - IMO 2006 dag 1 vraag 1
Zij $ABC$ een driehoek en zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Zij $P$ een punt binnen de driehoek zodanig dat $\angle PBA + \angle PCA= \angle PBC + \angle PCB$ . Bewijs dat $|AP|\ge |AI|$ en wanneer gelijkheid optreedt.
- login om te reageren
Oplossing
anglechasing all the way:
$\angle CPB=180 - \angle PBC - \angle PCB=180^{\circ}-\frac12(\angle ABC+ \angle ACB)$ (dit volgt rechtstreeks uit de gegeven gelijkheid)
$=180^{\circ}-ICB-IBC=BIC$ dus voor elke $P$ die aan de hoekconditie voldoet is $PICB$ een koordenvierhoek. Het is een gekend feit dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle BIC$ het snijpunt is van $AI$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$, noem dit middelpunt $K$. wegens de driehoeksongelijkheid is $AI+IK=AK \leq AP+PK$, omdat $PK=IK$ geeft dat inderdaad $AI \leq PK$. Gelijkheid als $A,P,K$ collineair zijn zodat $AP$ minimaal is, en das exact als $P=I$.