IMO 2004

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met $AB\ne AC$. De cirkel met diameter $BC$ snijdt $AB$ en $AC$ in $M,N$, respectievelijk. Laat $O$ het midden zijn van $BC$. De bissectrice van $\angle MON$ en $\angle BAC$ snijden in $R$. Bewijs dat het snijpunt van de omgeschreven cirkels van $\triangle BMR$ en $\triangle CNR$ op $BC$ ligt.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle reële veeltermen $f$ met de eigenschap dat voor alle reële $a,b,c$ met $ab+bc+ac=0$ geldt dat $$f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)$$

Vraag 3

We definiëren een 'haak' als een figuur, bestaande uit 6 eenheidsvierkantjes, zie hier voor een figuur: http://latex.artofproblemsolving.com/e/f/4/ef4cdb21baa20a696547d85c9c577...
(merk op dat een rotatie/spiegeling van deze figuur ook 'haak' wordt genoemd)

Vind, met bewijs, alle natuurlijke paren $(m,n)$ waarvoor er een $m\times n$-rechthoek kan betegeld worden met haken, zodat de rechthoek volledig en zonder overlap bedekt is (er mogen geen delen van de haak zich buiten de rechthoek bevinden).

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n\geq 3$ een geheel getal. Beschouw $n$ positieve reële getallen $t_1,t_2,\dots t_n$ waarvoor geldt $$n^2+1>\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)\left(\sum_{i=1}^n\frac1{t_i}\right)$$ Bewijs dat alle $t_i, t_j, t_k$ met $1\leq i < j < k \leq n$ driehoekszijden vormen.

Vraag 2 Opgelost!

In een convexe vierhoek $ABCD$ is de diagonaal $BD$ niet de bissectrice van $\angle ABC$, noch van $\angle CDA$. Het punt $P$ ligt in $ABCD$ en voldoet aan

\begin{matrix}\angle PBC=\angle DBA\quad\text{en}\quad \angle PDC=\angle BDA. \end{matrix}

Bewijs dat $ABCD$ een koordenvierhoek is als en slechts als $AP=CP$.

Vraag 3 Opgelost!

We noemen een natuurlijk getal alternerend als elke 2 opeenvolgende cijfers in zijn decimale expansie ongelijke pariteit hebben.

Bijvoorbeeld, 1276385 is alternerend, maar 184369 niet want 8 en 4 zijn beide even.

Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor $n$ een veelvoud heeft dat alternerend is.