Driehoekszijden

Opgave - IMO 2004 dag 2 vraag 1

Zij $n\geq 3$ een geheel getal. Beschouw $n$ positieve reële getallen $t_1,t_2,\dots t_n$ waarvoor geldt $$n^2+1>\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)\left(\sum_{i=1}^n\frac1{t_i}\right)$$ Bewijs dat alle $t_i, t_j, t_k$ met $1\leq i < j < k \leq n$ driehoekszijden vormen.

Oplossing

Het bewijs bestaat uit twee delen: eerst bewijzen we het geval $n=3$, daarna tonen we aan dat het algemene geval daaruit volgt.

Veronderstel dat er wel 3 positieve reële getallen $a,b,c$ bestaan waarvoor $b+c < a$ en de ongelijkheid $(a+b+c)(\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c})<10$ geldt. Stel $a-b-c=k > 0$. Dan geldt $1+\frac{b+c}{a}+(2(b+c)+k)(\frac1{b}+\frac1{c})<10$ en dus $\frac{b+c}{a}+\frac{k}{b}+\frac{k}{c}+2\frac{b}{c}+2\frac{c}{b} < 5$. Omdat $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2$, moet dus $\frac{b+c}{a}+\frac{k}{b}+\frac{k}{c} < 1$ waaruit $bc(b+c)+ak(b+c) < abc$. Dit betekent $ak(b+c) < (a-b-c)bc=kbc$. Nu volgt uit $k > 0$ dat $a(b+c) < bc$, maar dit is onmogelijk want dan is $4bc\le (b+c)^2< a(b+c) < bc$, contradictie. De eigenschap geldt dus voor $n=3$.

Veronderstel nu dat voor $n+1$ variabelen geldt $\sum_{i=1}^{n+1}x_i\sum_{i=1}^{n+1}\frac1{x_i} < (n+1)^2+1$. We bewijzen dat hieruit volgt dat $\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i} < n^2+1$ voor elke keuze van $x_{n+1}$. Dit is voldoende: zo kunnen we systematisch variabelen verwijderen totdat we er nog maar 3 over hebben en de conclusie volgt.
Veronderstel dat
$\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}\ge n^2+1$. Dan geldt

\begin{align}(n+1)^2+1 & > \left(\sum_{i=1}^{n}x_i+x_{n+1}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}+\frac1{x_{n+1}}\right)\\
&= 1+\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}+\frac1{x_{n+1}}\sum_{i=1}^{n}x_i+x_{n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}\\
&\ge 1+\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}+2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac1{x_i}}\tag{AM-GM}
\\ &\ge 1+n^2+1+2\sqrt{n^2+1}
\\ &\ge (n+1)^2+1\end{align}
Een contradictie.

QED