Veeltermvergelijking

Zei $P(a,b,c)$ met $ab+bc+ac=0$ de eigenschap van de gegeven gelijkheid.

$P(0,0,0)$ geeft $f(0)=0$ (de veelterm heeft dus geen constante term)

$P(\frac23a,\frac23a,−\frac13a)$ geeft $f(a)+f(−a)=2f(a)$ en dus $f$ is even. Dit betekent dat alle coëfficiënten van termen met oneven graad $0$ zijn.

$P(3a,6a,−2a)$ geeft $f(3a)+f(8a)+f(5a)=2f(7a)$
Als we de hoogstegraadscoëfficiënten vergelijken aan beide kanten, zien we dat $f\equiv 0$ of $3^n+8^n+5^n=2\cdot 7^n$ (*). Deze vergelijking klopt voor $n=2$ en ook voor $n=4$:
$9+64+25=98=2\cdot 49$ en $4096+625+81=4802=2\cdot 2401$
We bewijzen met inductie dat $8^n > 2⋅7^n$ voor alle even $n\geq 6$, waardoor (*) niet kan gelden voor $n\geq 6$: (de veelterm is even en dus hoeven we enkel $n$ even te beschouwen)
Het is rechtstreeks na te gaan dat $262144=8^6>2\cdot 7^6=235298$, en we hebben ook
$8^{n+2} > 8^2\cdot 2\cdot 7^n$ (inductiehypothese), en dat laatste is duidelijk groter dan $2\cdot 7^{n+2}$

Bijgevolg is $f$ de nulveelterm of een veelterm van graad 4 of 2. Zeg dat $f(x)=dx^4+ex^2$, met $d,e$ reële getallen (mogelijks 0). De voorwaarde $ab+bc+ac=0$ is natuurlijk equivalent met $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$ en daarom:
$(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2=2(a^2+b^2+c^2)=2(a+b+c)^2$.

De gelijkheid $2(a+b+c)^4=(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4$ is equivalent met $2(a^2+b^2+c^2)^2=2\sum a^4 +4\sum a^2b^2=2\sum a^4+6\sum a^2b^2-4\sum(a^3b+a^3c)$. Dat laatste gaat op als $\sum a^2b^2=2\sum a^2(ab+ac)=2\sum a^2(-bc)$. Dus resteert te bewijzen dat $0=\sum a^2b^2+2\sum a^2bc$, maar dat laatste is gelijk aan $(ab+bc+ac)^2$ en dat is uiteraard $0$.

Lineaire combinaties van de oplossingen $x^2$ en $x^4$ zijn ook een oplossing, omdat zowel het linker- als rechterlid die zelfde lineaire combinatie oplevert van de 2 basisuitdrukkingen.

We hebben alle mogelijke oplossingen gecontroleerd: ze zijn namelijk van de vorm $f(x)=dx^4+ex^2$ met $d,e$ reëel (mogelijks 0). QED