meetkunde op nr 1
Opgave - IMO 2004 dag 1 vraag 1
Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met $AB\ne AC$. De cirkel met diameter $BC$ snijdt $AB$ en $AC$ in $M,N$, respectievelijk. Laat $O$ het midden zijn van $BC$. De bissectrice van $\angle MON$ en $\angle BAC$ snijden in $R$. Bewijs dat het snijpunt van de omgeschreven cirkels van $\triangle BMR$ en $\triangle CNR$ op $BC$ ligt.
- login om te reageren
Oplossing
Omdat $\angle RON=\angle ROM$, $|ON|=|OM|$ moeten $\triangle RON$ en $\triangle ROM$ congruent zijn, bijgevolg $|RN|=|RM|$.
Omdat $R$ bovendien op de bissectrice van $\angle NAM$ ligt, is $RNAM$ cyclisch want in een driehoek snijden de bissectrice van een hoek en de middelloodlijn van de overstaande zijde op de omgeschreven cirkel ( dit is nu net de bissectrice van $\angle NOM$).
Merk op dat deze twee lijnen samen kunnen vallen, waardoor $R$ in dat geval niet gedefinieerd was.
Zij $K$ het snijpunt van $AR$ en $BC$. Dan is
$\angle KCN=180- \angle NMB=\angle NMA = \angle NRA=180-\angle NRK$
(waarbij we gebruikten dat $CNMB$ en $NRMA$ cyclisch zijn)
Er volgt dat $CNRK$ cyclisch is. Analoog is $KRMB$ cyclisch.
QED