IMO 2001

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Beschouw een scherphoekige $\triangle ABC$. Laat $P$ de voet van de hoogtelijn vanuit $A$ zijn, en laat $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ zijn. Veronderstel dat $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Bewijs dat $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs voor alle positieve reële $a,b,c$ dat $$\frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1$$

Vraag 3

21 meisjes en 21 jongens nemen deel aan een wiskundecompetitie. Het bleek dat elke deelnemer hoogstens zes problemen kon oplossen, en dat voor elk paar van jongen en meisje er een probleem bestond dat door beide werd opgelost.

Bewijs dat er een probleem bestaat dat door minstens 3 meisjes en 3 jongens is opgelost.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n$ een oneven getal groter dan 1 en zij $c_1, c_2, \ldots, c_n$ gehele getallen. Voor alle permutaties $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ van de verzameling $\{1,2,\ldots,n\}$, definiëren we $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Bewijs dat er 2 permutaties $a \neq b$ bestaan van $\{1,2,\ldots,n\}$ zodat $n!\mid S(a)-S(b)$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ met $\angle BAC = 60^{\circ}$. Laat $AP$ de bissectrice zijn van $\angle BAC$ en $BQ$ de bissectrice van $\angle ABC$, met $P$ op $BC$ en $Q$ op $AC$. Veronderstel dat $AB + BP = AQ + QB$.

Wat zijn de hoeken van $\triangle ABC$?

Vraag 3 Opgelost!

Zij $a > b > c > d$ positieve gehele getallen en veronderstel dat $$ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$$ Bewijs dat $ab+cd$ niet priem is.