$ab + cd$ is niet priem

Eerst merken we op dat
\begin{equation*}
\begin{split}
ac+bd &= (b+d+a-c)(b+d-a+c)\\
&= (b+d)^2 - (a-c)^2\\
&= b^2 + 2bd + d^2 - a^2 + 2ac - c^2\\
\iff b^2 + bd + d^2 &= a^2 - ac + c^2
\end{split}
\end{equation*}
Stel nu dat $ab + cd$ priem is. Stel $ab+cd=p$, dan $ab \equiv -cd\pmod{p} \Rightarrow a^2b^2 = c^2d^2\pmod{p}$ dus \begin{equation*}
\begin{split}
(b^2 + bd + d^2)b^2 &= (a^2 - ac + c^2)b^2\\
&= a^2b^2 - ab^2c + b^2c^2\\
&\equiv c^2d^2 + bc^2d + b^2c^2\\
&= (d^2 + bd + b^2)c^2\pmod{p}
\end{split}
\end{equation*}
Dus $(b^2 - c^2)(b^2 + bd + d^2) \equiv 0\pmod{p}$.
Dus ofwel $p \mid b^2 - c^2$ ofwel $p \mid b^2 + bd + d^2$. Maar $b-c < p, b+c < ab+cd = p$ dus de eerste is onmogelijk.

Maar we weten dat
\begin{equation*}
\begin{split}
0&>d(d-c) + b(d-a) + b(b-a) \\
&= d^2 - cd + bd - ab + b^2 - ab \\
&= b^2 + bd + d^2 - 2ab - cd
\end{split}
\end{equation*}
Ofwel $b^2 + bd + d^2 < 2ab + cd < 2p$, dus $p=b^2 + bd + d^2 = a^2 - ac + c^2$

Dus $b^2 + bd + d^2 = ab + cd \iff b^2 + bd - ab = cd - d^2 \iff b(b+d-a) = d(c-d)$.

Bewering 1: $gcd(b, d) = 1$
Bewijs: Stel dat $gcd(b, d) = k$. Dan omdat $p = ab +cd$ volgt $k \mid p$, dus ofwel
$k = 1$, $k = p$. De tweede is onmogelijk omdat $k\le d < ab+cd = p$, dus $k=1$, dus $1 = k = gcd(b, d)$. QED

Omdat $gcd(b, d) = 1$, moeten we $b \mid c-d$ en dus $c-d \ge b$, maar daar $d$<$b+d-a$, dus we bekomen een contradictie bij de gelijkheid $b(b+d-a) = d(c-d)$. Dus $ab+cd$ is niet priem.