Nog eens een ongelijkheid

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ is convex in $\mathbb{R^+}$ en dan zegt de gewogen versie van de ongelijkheid van Jensen dat
$$\frac{af(a^2+8bc)+bf(b^2+8ac)+cf(c^2+8ab)}{a+b+c}\geq f( \frac{a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+cf(c^2+8ab)}{a+b+c})$$
Zodat LHS (van de opgave) $$\geq \frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+24abc}}.$$

Opdat de opgave zou kloppen, moet $(a+b+c)\sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{a^3+b^3+c^3+24abc}$. Dit is inderdaad waar:
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$
$\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 6abc$
En dit klopt wegens AM-GM.