hoekenzoeken

Neem $R\in AB$ zodat $\angle ARP=\frac12 \angle ABC$, met $B$ tussen $A$ en $R$ en neem $D\in [AC$ zodat $\angle ADP=\frac12 \angle ABC$. We zullen bewijzen dat $C=D$. Veronderstel uit het ongerijmde dat $\triangle BPD$ een niet-ontaarde driehoek is. We nemen aan dat $C$ tussen $A$ en $D$ ligt, het andere geval is analoog.

Omdat $\angle BPR=\angle ABP-\angle BRP=\frac12\angle ABC=\angle BRP$ volgt $BP=BR$.
Omdat nu $BQ+AQ=AB+BP=AB+BR=AR=AD=AQ+QD$
(waar $AR=AD$ volgt uit congruente $\triangle APR=\triangle APD$ wegens ZHH)
volgt $BQ=QD$ en dus $\angle QBD=\angle QDB$ waaruit $\angle PBD=\angle QBD-\angle QBC=\angle QDB-\angle QDP=\angle PDB$.

Omdat $P,D,B$ niet collineair zijn per veronderstelling, volgt $BP=PD$.
Bovendien is $AR=AD$, waaruit volgt dat $\angle PRD=\angle BRD-\angle BRP=\angle ADR-\angle ADP=\angle PDR$ en dus $PR=PD$. Er moet dus gelden dat $\triangle BPR$ gelijkzijdig is, waaruit $\angle ABC=120$°, maar dit is een onmogelijkheid want hieruit zou volgen $BC//AC$.

De bekomen contradictie toont aan dat $C=D$ en dus $CQ=BQ$, waaruit $\angle QBC=\frac12 ABC=\angle ACB$. Dit impliceert tezamen met $\angle ACB+\angle ABC=120$° dat $\angle ABC=2\angle ACB=80$°
QED