IMO 2000

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Twee cirkels $G_1$ en $G_2$ snijden in $M$ en $N$. Zij $AB$ de rechte die raakt aan beide cirkels in $A$ en $B$ respectievelijk, zodat $M$ dichter bij $AB$ ligt dan $N$. Zij $CD$ de rechte parallel met $AB$ die door $M$ gaat en $C$ op $G_1$ en $D$ op $G_2$. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in $E$; de rechten $AN$ en $CD$ snijden in $P$; de rechten $BN$ en $CD$ snijden in $Q$. Toon aan dat $EP=EQ$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $a,b,c$ positieve reële getallen zodat $abc=1$. Bewijs dat
$$\left(a-1+\frac1b\right)\left(b-1+\frac1c\right)\left(c-1+\frac1a\right) \leq1.$$

Vraag 3

Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal en $\lambda$ een positief reëel getal. Oorspronkelijk bevinden er zich $n$ vlooien op een horizontale rechte, niet allemaal op hetzelfde punt. Een beweging gaat als volgt: je kiest twee vlooien op punten $A$ en $B$, met $A$ links van $B$, en de vlo van $A$ laat je over $B$ springen naar een $C$ waarvoor $BC/AB=\lambda$. Bepaal alle waarden van $\lambda$ zodat, voor eender welk punt $M$ op de rechte en voor eender welke oorspronkelijke positie van de $n$ vlooien, er een eindige rij van bewegingen bestaat zodat alle vlooien zich rechts van $M$ bevinden.

Dag 2

Vraag 1

Een goochelaar heeft 100 kaarten, genummerd van 1 tot en met 100. Hij stopt ze in drie dozen, een rode, een witte en een blauwe, zodat iedere doos minimum één kaart bevat. Iemand uit het publiek trekt twee kaarten uit twee verschillende dozen (1 uit elk) en zegt luidop de som van de getallen op die kaarten. Met enkel deze informatie, weet de goochelaar te zeggen uit welke doos er geen kaart getrokken is. Op hoeveel verschillende manieren kan hij de 100 kaarten in de drie dozen steken zodat de truc werkt?

Vraag 2 Opgelost!

Bestaat er een natuurlijk getal $n$ zodat $n$ precies (niet noodzakelijk verschillende) 2000 priemdelers heeft en $n|2^n+1$?

Vraag 3

Zij $AH_1,BH_2,CH_3$ de hoogtelijnen van een scherphoekige driehoek $ABC$. De ingeschreven cirkel raakt de zijden $BC,AC,AB$ in $T_1,T_2,T_3$ respectievelijk. Beschouw de spiegelbeelden van de rechten $H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1$ ten opzichte van de rechten $T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1$. Bewijs dat deze beelden een driehoek vormen waarvan de hoekpunten op de ingeschreven cirkel van $ABC$ liggen.