Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 2000 › meetkunde 2

meetkunde 2

Tags:

Opgave - IMO 2000 dag 1 vraag 1

Twee cirkels $G_1$ en $G_2$ snijden in $M$ en $N$. Zij $AB$ de rechte die raakt aan beide cirkels in $A$ en $B$ respectievelijk, zodat $M$ dichter bij $AB$ ligt dan $N$. Zij $CD$ de rechte parallel met $AB$ die door $M$ gaat en $C$ op $G_1$ en $D$ op $G_2$. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in $E$; de rechten $AN$ en $CD$ snijden in $P$; de rechten $BN$ en $CD$ snijden in $Q$. Toon aan dat $EP=EQ$.

Oplossing

Ingediend door Jan

$AB$ is de raaklijn, dus wegens de raakomtrekshoek geldt dat

$$\angle MBA = \angle MDB = \angle ABE$$
en ook
$$\angle MAB = \angle ACM = \angle EAB$$

Dus wegens deze gelijke hoeken zien we dat $E$ op $M$ wordt afgebeeld door een spiegeling met as $AB$.

Dus $EM \perp CD$.

We zien ook dat er een homothetie met centrum $N$ bestaat die $[PQ]$ op $[AB]$ afbeeldt. Het beeld van $M$ is het snijpunt van $MN$ en $CD$, en vermits $MN$ de machtslijn is, geldt dus dat $MP=MQ$.

ZHZ, dus $\Delta EMQ \cong \Delta EMP$

$$\mathbb{QED}$$

Ingediend door orija

Gelijkaardig aan Jan, maar ik bewees $|MP| = |MQ|$ anders: Noem $X$ het middelpunt van $[AB]$. $X$ ligt op de machtslijn $MN$ wegens macht van $X$ t.o.v. $G1$ is $|AX|^2$ en macht van $X$ t.o.v. $G_2$ is $|BX|^2$, maar $|AX| = |BX|$. Nu zijn $AXN$ en $PMN$ gelijkvormig met $\frac{|AX|}{|PM|} = \frac{|XN|}{|MN|}$. Ook zijn $BXN$ en $QMN$ gelijkvormig met $\frac{|BX|}{|QM|} = \frac{|XN|}{|MN|}$. Uit deze twee gelijkvormigheden halen we $\frac{|AX|}{|BX|} = \frac{|QM|}{|PM|} = 1$, dus $|PM| = |QM|$. Nu bewijs je gewoon dat $EM$ loodrecht op $CD$ staat door aan te tonen dat $\triangle MAB \cong \triangle EAB$ en klaar is kees.