IMO 1999

Dag 1

Vraag 1

Een eindige verzameling $S$ van punten in het vlak wordt volledig symmetrisch genoemd als ze minstens drie elementen bezit en voor elke twee verschillende punten $A$ en $B$ is de middelloodlijn van het lijnstuk $[AB]$ een symmetrieas van $S$. Vind alle compleet symmetrische verzamelingen.

Vraag 2

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 1. Vind de kleinste constante $C$ zodat de ongelijkheid
$$\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leq C\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4$$
opgaat voor alle $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq0$. Eens $C$ bepaald, vind wanneer gelijkheid optreedt.

Vraag 3

Zij $n$ een even natuurlijk getal. We zeggen dat twee verschillende cellen van een $n\times n$ bord buren zijn als ze een zijde gemeenschappelijk hebben. Vind het minimum aantal cellen op het $n\times n$ bord dat moet gekleurd worden zodat iedere cel een gekleurde buur zou hebben.

Dag 2

Vraag 1

Vind alle koppels natuurlijke getallen $(x,p)$ met $p$ een priemgetal, $x\leq p$ en $x^{p-1}|(p-1)^x+1$.

Vraag 2 Opgelost!

Twee cirkels $U$ en $V$ raken de cirkel $W$ inwendig in $M,N$ en het middelpunt van $V$ ligt op $U$. De gemeenschappelijke koorde van de cirkels $U$ en $V$ snijdt $W$ in $A$ en in $B$. $MA$ en $MB$ snijden $U$ in $C$ en in $D$ respectievelijk. Bewijs dat $V$ raakt aan $CD$.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ geldt dat
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1.$$