algebra 5

Opgave - IMO 1999 dag 2 vraag 3

Bepaal alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ geldt dat
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1.$$

Oplossing

Merk op dat $f(0)\ne 0$ want anders zou $f(x)=f(x)-1$ als je $y=0$ invult, wat niet kan.
Vervang nu $x$ door $f(x)$ in de gegeven vergelijking:
$$f(f(x)-f(y))=f(f(y))+f(f(x))+f(x)f(y)-1\quad (*)$$
Als je $x=y$ invult vind je gemakkelijk dat $f(f(x))=\frac{f(0)+1}{2}-\frac{f(x)^2}{2}$, vul dit in bij $(*)$:
$$f(f(x)-f(y))=f(0)+1-\frac{f(x)^2}{2}-\frac{f(y)^2}{2}+f(x)f(y)-1=f(0)-\frac{(f(x)-f(y))^2}{2}\quad (**)$$

$y=0$ in de originele vergelijking geeft $f(x-f(0))-f(x)=f(0)x+f(f(0))-1$. Omdat die laatste uitdrukking bijectief is op $\mathbb{R}$ (want $f(0)\ne 0$), geldt dat $f(x-f(0))-f(x)$ alle waarden van $\mathbb{R}$ doorloopt. Als we dus bij $(**)$ $x$ vervangen door $x-f(0)$ en $y$ door $x$, bekomen we

$$f(a)=f(f(x-f(0))-f(x))=f(0)-\frac{(f(x-f(0))-f(x))^2}{2}=f(0)-\frac{a^2}{2}$$
voor alle $a\in \mathbb{R}$, want $a=f(x-f(0))-f(x)$ nam alle waarden aan in $\mathbb{R}$.
Omdat deze oplossing ook moet overeenkomen met wat we vonden vlak achter $(*)$, i.e. $f(f(x))=\frac{f(0)+1}{2}-\frac{f(x)^2}{2}$ voor $x=0$, geldt $\frac{f(0)+1}{2}=f(0)$, waaruit $f(0)=1$ volgt.
Dit betekent dat $f(x)=1-\frac{x^2}{2}$ de enige mogelijkheid nog is. Een triviale controle bevestigt dat dit inderdaad voldoet.