meetkunde 6

Tags:

Opgave - IMO 1999 dag 2 vraag 2

Twee cirkels $U$ en $V$ raken de cirkel $W$ inwendig in $M,N$ en het middelpunt van $V$ ligt op $U$. De gemeenschappelijke koorde van de cirkels $U$ en $V$ snijdt $W$ in $A$ en in $B$. $MA$ en $MB$ snijden $U$ in $C$ en in $D$ respectievelijk. Bewijs dat $V$ raakt aan $CD$.

Oplossing


Stel $H$ het middelpunt van $V$ en $G$ dat van $U$. $T$ is het snijpunt van $HG$ met $CD$. $S$ is het tweede snijpunt van $AN$ met $V$. Ten slotte noemen we $R$ het tweede snijpunt van $MN$ met $V$. (Het is duidelijk dat deze punten allemaal bestaan.)

We hebben $\angle SRN=\angle AMN$ omdat die dezelfde raakomtrekshoek hebben.

Nu is $90^\circ-\angle NSH=\angle SRN=\angle AMN$. Omdat $A$ op de machtslijn van $U$ en $V$ ligt is $\bigtriangleup ASC\sim\bigtriangleup AMN$, dus $\angle AMN=\angle ASC$.

Dus $\angle NSH+\angle ASC=90^\circ$, zodat $\bigtriangleup CSH$ rechthoekig is in $S$, of ook: $CS$ raakt aan $V$.

Neem een punt $X$ op $SC$ zodat $X\not\in[CS$.

Er geldt dat $\angle XCM=\angle ACS=\angle ANM=\angle ABM=\angle CDM$, dus $\angle XCM$ is een raakomtrekshoek op de boog $CM$, zodat $CS$ ook raakt aan $U$.

Nu is $\angle SCH=\angle HDC=\angle HCD$ (Opnieuw raakomtrekshoek, en $CD\parallel AB\perp HG$ eigenlijk ook triviaal te zien met gelijke raakomtrekshoeken op de bogen $CM$ en $AM$.)

$ZHH$, dus $\bigtriangleup SCH\cong\bigtriangleup TCH$ zodat $|TH|=|SH|$ en $CD$ raakt aan $V$.