IMO 1991

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Van een driehoek ABC is $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
De binnenbissectrices van de hoeken A, B en C snijden de overstaande
zijden respectievelijk in $A_0$, $B_0$ en $C_0$. Bewijs dat
$\frac14 <\frac{|AI|| BI|| CI|}{|AA_0| |BB_0||CC_0|} \le \frac{8}{27}$

Vraag 2 Opgelost!

Zij n > 6 een geheel getal en zij $a_1, a_2, \dots, a_k$ alle positieve gehele getallen kleiner dan $n$ en relatief priem met $n$. Als
$$ a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_k - a_{k-1} > 0$$

Bewijs dat $n$ priem is of een macht van 2.

Vraag 3

Beschouw de verzameling $S = \{1,2,\cdots, 280\}$. Bepaal het kleinste positieve gehele getal $n$ met de eigenschap dat in elke uit $n$ elementen bestaande
deelverzameling van $S$ er $5$ elementen te vinden zijn die paarsgewijs onderling ondeelbaar zijn.

Dag 2

Vraag 1

We hebben een samenhangende graaf met $k$ zijden.
Bewijs dat het mogelijk is deze zijden te labelen met de getallen $1$ tot $k$, zodat voor ieder knooppunt dat tot minstens $2$ zijden behoort, geldt dat de ggd van de getallen op die zijden waarvan het een eindpunt is, gelijk is aan $1$.

Vraag 2

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met een punt $P$ er binnen.
Bewijs dat minstens één van de hoeken $\angle PAB, \angle PBC, \angle PCA$ kleiner of gelijk aan $30^{\circ}$ is.

Vraag 3

Een oneindige rij $x_0, x_1,\cdots$ van reele getallen heet begrensd als er een reele
constante C bestaat zodanig, dat $ |x_i| \le C$ voor alle $i > 0.$ Zij $a$ een
reeel getal groter dan 1. Construeer een begrensde oneindige rij $x_0, x_1,\cdots$
waarvoor geldt dat
$|x_i - x_j||i-j|^a > 1$
voor elk tweetal verschillende indices i en j.